Date le strutture $F_1 = \langle W_1, R_1 \rangle$ e $F_2 = \langle W_2, R_2 \rangle$.

Un p-morfismo (detto anche bounded morphism) è una funzione $f: W_1 \rightarrow W_2$ per cui devono valere la forth e la back condition.

Forth condition

$$ \forall w, v \in W_1. wRv \ \text{allora} \ f(w)Rf(v) $$

Back condition

$$ \forall w \in W_1, \forall v \in W_2 (\text{se }f(w)Rv \text{ allora } \exists u \in W_1 (wR_1 u \text{ e } f(u)=v)) $$

P-morfismo tra modelli

$f$ è un p-morfismo tra modelli se valgono la forth condition, la back condition e la condizione aggiuntiva

$$ \forall w \in W_1, \forall p (w \in I_1(p) \text{ sse } f(w) \in I_2(p)) $$

In altre parole, un p-morfismo deve preservare la verità delle variabili enunciative.

Lemma del p-morfismo tra modelli

Siano $M_1$, $M_2$ modelli e sia $f$ un p-morfismo tra modelli. Allora

$$ \forall w \in W_1 (\vDash_w^{M_1} \kern-0.25em A \text{ sse } \vDash_{f(w)}^{M_2} \kern-.25em A) $$

In altre parole, un p-morfismo tra modelli preserva la verità delle formule.

Dimostrazione

Lemma del p-morfismo suriettivo tra modelli

DEF: Un p-morfismo suriettivo è una funzione $f$ tale che $f$ è un p-morfismo e $f$ è suriettiva.