Diremo che una formula $A$ corrisponde alla proprietà $P$ sse:

$$ \forall F (F \vDash A \ \text{sse} \ F \ \text{gode di } P) $$

e diremo che $F \triangleright P$.

Possiamo così scrivere

$$ X = \{A \; | \; F \vDash A \ \text{per} \ F \triangleright P \} $$

come se fosse una sesta clausola alle logiche normali.

1. $T \equiv \square A \rightarrow A$ corrisponde alla riflessività

$$ \forall F (F \vDash \square A \rightarrow A \ \iff \ F \ \text{riflessiva}) $$

ovvero $\forall w. wRw$. (Ricorda $F = \langle W, R \rangle$)

Se modelliamo la conoscenza come si conoscono sole cose vere allora dobbiamo usare strutture riflessive.

Dimostrazione

4. $\square A \rightarrow \square \square A$ corrisponde alla transitività

$$ \forall F (F \vDash \square A \rightarrow \square \square A \ \iff F\ \text{transitiva}) $$

Ovvero $\forall w , v, u .(wRv \ \text{e} \ vRu \Rightarrow wRu)$

Dimostrazione

D. $\square A \rightarrow \Diamond A$ corrisponde alla serialità

$$ \forall F (F \vDash \square A \rightarrow \Diamond A \ \iff F\ \text{seriale}) $$

Ovvero $\forall w \exists u. wRu$

Dimostrazione

B. $A \rightarrow \square \Diamond A$ corrisponde alla simmetria