La logica modale introduce due nuovi simboli unari rispetto alla logica classica, il $\square$ (box) e $\Diamond$ (diamond).

Ci sono diverse interpretazioni dei simboli, ad esempio $\square$ può significare che una proposizione è dimostrabile in aritmetica di Peano. Non ci importano le applicazioni.

Sintassi logica proposizionale

Alfabeto $L^\Phi$

a) $\Phi$ insieme numerabile di variabili enunciative: $p_0 , p_1, p_2, ...$

b) costanti logiche: $\bot, \lnot, \land, \lor, \to$, ausiliari: $\top, \leftrightarrow$.

c) parentesi $(, )$

Formule ben formate (fbf)

Per induzione:

• se $p_i \in \Phi$ allora $p_i \in fbf$
• $\bot \in fbf$
• se $A \in fbf$ allora $\lnot A \in fbf$
• se $A \in fbf$ e $B \in fbf$ allora $A \land B, A \lor B, A \to B \in fbf$
• nient’altro in $fbf$

Useremo $p, q, r$ come metavariabili per le variabili enunciative e $A,B,C$ come metavariabili per le formule.

Convenzioni

• si omettono le parentesi più esterne
• i connettivi unari hanno più precedenza degli altri