Logica modale normale

La logica modale normale è un insieme di formule $X$ t.c.

1. Contiene tutte le istanze delle tautologie proposizionali classiche
2. Contiene lo schema (ovvero un insieme infinito di proprietà) K:

$$ K = \square (A \to B) \to (\square A \to \square B) $$

1. $X$ è chiuso sotto Modus Ponens, ovvero se $A \in X$ e $A \to B \in X$ allora $B \in X$
2. $X$ è chiuso sotto Necessitazione, ovvero se $A \in X$ allora $\square A \in X$
3. $X$ è chiuso sotto Sostituzione Uniforme, ovvero se $A \in X$ allora $A[B/p] \in X$

Calcolo K

Da Kripke. È un insieme di assiomi e regole.

$K$ ha i seguenti assiomi:

• $\text{TAUT}$: tutte le tautologie proposizionali classiche
• Schema $K$: $\square (A \to B) \to (\square A \to \square B)$
• Definizione di $\Diamond$: $\Diamond A \leftrightarrow \lnot \square (\lnot A)$

e ha le seguenti regole:

• Modus Ponens

• Necessitazione

Il calcolo K è completo (no dimostrazione).